В разных задачах и теоремах геометрии регулярно встречаются одни и те же конструкции. Если освоить некоторый их «джентельменский набор», то изучение геометрии пойдёт легче и быстрее, так как в новых задачах школьники будут узнавать знакомые очертания. На занятии мы обсудим несколько таких конструкций из планиметрии и стереометрии и посмотрим, как они помогают решать задачи.

В рамках лекции планируется показать, как можно в течение нескольких лет средней и старшей школы возвращаться к одному и тому же разделу математики, расширяя и углубляя полученные знания при каждом следующем прохождении. В качестве характерных примеров будут показаны задачи различных уровней сложности, которые можно изучать в теме «Многочлены», в том числе с привлечением идей из смежных областей математики на разных этапах освоения этой темы.

Доступность вычислительной техники и языков программирования высокого уровня с обширным набором готовых библиотечных функций позволяет глубже раскрыть красоту математики как строгой науки, а также показать её исключительную важность для решения прикладных задач. Планируется рассмотреть соответствующие примеры и разобрать специфику применения ЭВМ для получения математически строгих результатов.

Для многих школьников комбинаторика фактически является предметом, лежащим вне математического поля. В ней рассматриваются текстовые задачи (что уже само по себе сложно), которые ни в какой момент не переводятся в математические, в отличие от большей части привычных школьникам текстовых задач с отработанными механизмами представления в виде системы уравнений или хотя бы стандартизированной схемы. Вместо этого обучающимся предлагается применить достаточно туманные рассуждения с загадочно умножаемыми (а иногда почему-то складываемыми) количествами способов. При определенном уровне опыта школьники привыкают полуинтуитивно что-то умножать и что-то складывать, но в целом чувствуют себя довольно неуверенно и предпочитают без нужды не связываться с этим предметом, больше похожим на школьную физику, нежели на математику.
На лекции предлагается аккуратный математический подход к решению комбинаторных задач, использующий построение схем вместо (или вместе с) математического задания множества, описанного в текстовом условии. Такой подход близок к привычному для школьников способу решения текстовых задач, при этом он достаточно строг и позволяет школьнику верифицировать своё решение.

В одной олимпиадной задаче И. Н. Сергеев предложил алгоритм сравнения пары логарифмов с разными основаниями, который может эффективно применяться при «ручном» счете, а также легко программируется. Впоследствии выяснилось, что этот алгоритм фактически раскладывает рассматриваемые логарифмы в цепные дроби и выдает ответ в точности тогда, когда эти цепные дроби на очередном «этаже» начинают различаться.

Хорошо известно, что граф «домики и колодцы» нельзя нарисовать на
плоскости без самопересечений. Однако на торе этот граф можно нарисовать без самопересечений. Также есть хорошо всем известное выражение B-P+Г, которое для любого выпуклого многогранника принимает значение 2 (теорема Эйлера).
Мы поговорим о связи этих двух сюжетов, а также обсудим коллекцию задач по этой теме.

Вопросы, связанные с аксиоматическим подходом в геометрии, традиционно вызывают ожесточённые методические споры в среде профессионалов школьного образования. И не только: определивший образ геометрии на века труд Евклида, драма опередившего время открытия Н. Лобачевского, имеющие огромное значение для современной науки подходы Ф. Клейна, Г. Грассмана, Дж. Пеано — все так или иначе связаны с вопросами построения геометрии. Мы обсудим, когда можно всерьёз говорить со школьниками о геометрических аксиомах в зависимости от уровня группы, а также рассмотрим несколько характерных примеров, в которых система аксиом проявляет себя ярко.